\documentclass[a4j,11pt,dvipdfmx]{jsarticle}

\usepackage{amsmath,amssymb,eucal}%数学用のfontを使うためのおまじない
\usepackage{graphicx}%図を挿入するためのおまじない

\title{地球惑星科学基礎III 中間テスト}
\author{岩山　隆寛}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{問題}

     質量 $m$ の質点が，重さの無視できる長さ $l$ の伸びない紐によって吊るされているとする（図\ref{fig1}参照）．質点を平衡の位置から，角度 $\theta$ だけ変位させたときに，質点の運動は以下の運動方程式によって記述される：
	\begin{align}
	ml\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d} t^2}=-mg \sin \theta	\label{eq:ode1}
	\end{align}
ここで，$g$ は重力加速度である．この方程式に関する以下の設問に答えなさい．

\begin{figure}[htbp]
\centering
 \includegraphics[clip,scale=0.4]{pendulem.eps}
 \caption{質量 $m$ の質点が，重さの無視できる長さ $l$ の伸びない紐の端に吊
るされた振り子．}\label{fig1}
\end{figure}

	\begin{enumerate}
	
	\item \eqref{eq:ode1} は線形の微分方程式か，それとも非線形の微分方程
式か，を調べなさい．
\footnote{ヒント：線形の微分方程式であれば，もし \eqref{eq:ode1} を満足する
解が2つ，それらを $\theta_1$, $\theta_2$ とする，が見つかったとき，$c_1$, 
$c_2$ を任意定数として，$c_1 \theta_1+c_2 \theta_2$ も \eqref{eq:ode1} の解
になる．}
	\item \eqref{eq:ode1} において $\theta$ が小さい場合（$\theta \ll 1$），
即ち，微小振動の微分方程式は
	\begin{align}
		m l^2\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{d} t^2}=-mgl \theta	\label{eq:ode2}
	\end{align}
となることを示しなさい．
	\item \eqref{eq:ode2} は線形の微分方程式か，それとも非線形の微分方程式か，
を調べなさい．
	\item \eqref{eq:ode2} の一般解を求めなさい．
	\item 初期条件 $t=0$ において，
$\theta=\theta_0$, $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}=0$ を満足する \eqref{eq:ode2}
 の解を求めなさい．

	\end{enumerate}

\section{模範解答}    
\end{document}
